Soal-Jawab Induksi Matematika 2

Pertanyaan:
Buktikan 3ⁿ  ≥2n+1 , untuk n ≥ 1

Pembahasan:
Pembuktian Induksi matematika dilakukan dengan 3 langkah.

Langkah I
n=1
3ⁿ  ≥2n+1
3¹  ≥2(1)+1
3 ≥3  Terbukti

Langkah II
n=k
3ⁿ  ≥2n+1
3^k  ≥2k+1 (asumsikan Benar)

Langkah III
n=k+1
3ⁿ  ≥2n+1
3^k+1  ≥2(k+1)+1
3.3^k  ≥2k+2+1. Ingat 3a=a+a+a.
3^k+ 3^k+ 3^k ≥2k+2+1
3^k≥2k+2+1 - 3^k -3^k 
3^k≥2k+1 - 2.3^k +2  . Posisi 1 dan 2 tukar sesuai sifat penjumlaha: a+b+c = a+c+b
3^k≥2k+1 - 2.(3^k +1) 
dari langkah dua: k≥1 karena n=k dan n juga n≥ 1.

Terbukti:
3^k≥2k+1 - 2.(3^k +1) 
Sebab: 
3^k  ≥2k+1 Kemudian bagian kiri yang mana lebih kecil DIKURANGI LAGI dengan suatu Bilangan. Pastinya BAGIAN KIRI TERSEBUT AKAN SEMAKIN KECIL. Jadi,
3^k≥2k+1 - 2.(3^k +1) . Terbukti.