Contoh Soal dan Pembahasan Integral Subtitusi

Ciri Ciri Soal yang bisa diselesaikan dengan integral subtitusi adalah: Jika terdapat dua suku, maka selisih pangkat variabel antara dua suku tersebut 1. Untuk langkah dan cara menyelesaikan soal dengan integral subtitusi,

1. bagian pangkat yang lebih besar akan dimisalkan.
2. Lalu dilanjutkan dengan menurunkan yang dimisalkan.
3. Subtitusikan yang dimisalkan pada soal dan Sederhanakan
4. Integralkan seperti integral biasa

Selanjutnya mari lihat contoh soal dan pembahasan integral subtitusi di bawah ini,

Soal 1.

Tentukan hasil dari $\int \frac {10x}{\sqrt {(5x^2-1)^3}}dx=...$

Pembahasan:

Langkah 1: Tentukan pangkat mana yang besar
Suku 1: 10 x
Suku 2: $5x^2-1$ terlihat pangkat x pada suku ini yang terbesar. Maka misalkan
$u=5x^2-1$

Langkah 2: Turunkan permisalan
$u = 5x^2-1 \\ du = 10x dx \\ dx= \frac {1}{10x} du$

Langkah 3: Subtitusikan  ke Soal
$ \int \frac {10x}{\sqrt {(5x^2-1)^3}}dx \\ \int \frac {10x}{\sqrt {(u)^3}} \frac {1}{10x} du \\ \int \frac {1}{(u)^{\frac {3}{2}} } du \\ \int u^{- \frac {3}{2}} du$

Langkah 4: Integralkan

Ingat rumus dasar integral $\int ax^n dx = a. \frac {1}{n+1}x^{n+1}$

$ \int u^{- \frac {3}{2}} du =- 2 u^ {- \frac {1}{2}} + C $

Kembalikan permisalan u =$5x^2-1$
$-2 (5x^2-1) ^ {- \frac {1}{2}} +C \\ \frac {-2}{(5x^2-1) ^ { \frac {1}{2}}} \\ \frac {-2}{\sqrt {5x^2-1} }+C$

Soal 2:

Integral dari
$\int 4x \sqrt[2016]{(x^2-2015)^{2017}} dx =...$

Pembahasan:
Langkah 1: Identifikasi pangkat
Suku 1= 4x
Suku 2= x$^2$-2015 (misalkan dengan u=x$^2$-2015)

Langkah 2: Turunkan permisalan
u= x$^2$-2015
du = 2x dx
dx = $\frac {du}{2x}$

Langkah 3: Subtitusi
$\int 4x \sqrt[2016]{(x^2-2015)^{2017}} dx \\ \int 4x .u^{\frac {2017}{2016}} \frac {du}{2x} \\ \int 2.u^{\frac {2017}{2016}} $

Langkah 4 Integralkan
$ 2. \frac {2016}{4033} u^{\frac {4033}{2016}} +C \\  \frac {4032}{4033} u^{2\frac {1}{2016}} +C \\ \frac {4032}{4033} u^{2+\frac {1}{2016}} +C\\ \frac {4032}{4033} u^{2}  u^{\frac {1}{2016}} +C \\  \frac {4032}{4033} u^{2}  \sqrt [2016]u +C$

Kembalikan u=x$^2$-2015
$ \frac {4032}{4033} u^{2}  \sqrt [2016]u +C \\  \frac {4032}{4033} (x^2-2015)^{2}  \sqrt [2016]{(x^2-2015)} +C$