Contoh Soal dan Penyelesaian Integral Subtitusi Trigonometri
Sebelum memahami bagaimana contoh soal ini, akan lebih baik anda paham beberapa dasar dari integral subtitusi trigonometri fungsi khusus ini pada artikel: Cara Integral Trigonometri dengan Subtitusi.
Q1) Hasil dari integral dari $ \int \frac{x^2}{\sqrt{4-9x^2}} dx $ ?
Penyelesaian:
Bentuknya adalah $ \sqrt{4-9x^2} = \sqrt{2^2-3^2x^2} , \, $ substitusi $ x = \frac{2}{3} \sin t $.
$ x = \frac{2}{3} \sin t \rightarrow \sin t = \frac{3x}{2} \rightarrow t = arc \sin \left( \frac{3x}{2} \right) $
$ x = \frac{2}{3} \sin t \rightarrow \frac{dx}{dt} = \frac{2}{3} \cos t \rightarrow dx = \frac{2}{3} \cos t dt $.
$ \begin{align} \sqrt{14-9x^2} & = \sqrt{4-9(\frac{2}{3}\sin t) ^2 } = \sqrt{4-9.\frac{4}{9}\sin^2 t } = \sqrt{4-4\sin^2 t } \\ & = \sqrt{4(1 - \sin ^2 t) } = \sqrt{4\cos ^ 2 t } = 2 \cos t \end{align} $.
Menggunakan rumus : $ \sin ^2 t = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2t $.
dan $ \sin 2t = 2 \sin t \cos t $.
juga $ \cos t = \sqrt{1 - \sin ^2 t } = \sqrt{ 1 -(\frac{3x}{2})^2 } = \sqrt{ 1 -\frac{9}{4}x^2 } $
Subtitusi/Ganti variabel x dengan permisalan $ x \, $ dan $ dx \, $ nya :
$ \begin{align} \int \frac{x^2}{\sqrt{4-9x^2}} dx & = \int \frac{(\frac{2}{3} \sin t)^2}{ 2 \cos t } . \frac{2}{3} \cos t dt \\ & = \int \frac{\frac{4}{9} \sin ^2 t }{ 2 \cos t } . \frac{2}{3} \cos t dt \\ & = \frac{4}{27} \int \sin ^2 t dt \\ & = \frac{4}{27} \int \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2t dt \\ & = \frac{4}{27} ( \frac{1}{2}t - \frac{1}{2} . \frac{1}{2} \sin 2t ) + c \\ & = \frac{4}{27}( \frac{1}{2}t - \frac{1}{4} \sin 2t ) + c \\ & = \frac{4}{27} ( \frac{1}{2}t - \frac{1}{4} . 2 \sin t \cos t ) + c \\ & = \frac{4}{27} (\frac{1}{2}t - \frac{1}{2} \sin t \cos t ) + c \, \, \, \, \, \text{(ubah dalam bentuk } x) \\ & = \frac{4}{27} ( \frac{1}{2} arc \sin \left( \frac{3x}{2} \right) - \frac{1}{2} \frac{3x}{2} \sqrt{ 1 -\frac{9}{4}x^2 } ) + c \\ & = \frac{2}{27} arc \sin \left( \frac{3x}{2} \right) - \frac{x}{9} \sqrt{ 1 - x^2 } + c \end{align} $
Jadi dari Soal akan diperoleh hasil: $ \int \frac{x^2}{\sqrt{4-9x^2}} dx = \frac{2}{27} arc \sin \left( \frac{3x}{2} \right) - \frac{x}{9} \sqrt{ 1 - x^2 } + c $
Q2) Tentukanlah hasil dari integral $ \int \sqrt{8 + 2x - x^2 } dx $ ?
Penyelesaian :
Fungsi diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna,
$ \begin{align} 8 + 2x - x^2 & = 9 - 1 + 2x - x^2 \\ & = 9 - (1 - 2x + x^2) \\ & = 9 - (x-1)^2 \end{align} $
Dari Bentuk $ 9 - (x-1)^2 , \, $ substitusikan $ x - 1 = 3 \sin t $.
$ x - 1 = 3 \sin t \rightarrow \sin t = \frac{x-1}{3} \rightarrow t = arc \sin \left( \frac{x-1}{3} \right) $
$ x - 1 = 3 \sin t \rightarrow x = 3\sin t + 1 \rightarrow \frac{dx}{dt} = 3\cos t \rightarrow dx = 3 \cos t dt $.
$ \begin{align} \sqrt{8 + 2x - x^2 }& = c = \sqrt{9 - (3\sin t)^2 } = \sqrt{9 - 9\sin^2 t } \\ & = \sqrt{9(1 - \sin ^2 t) } = \sqrt{9\cos ^ 2 t } = 3 \cos t \end{align} $.
Menggunakan Rumus : $ \cos ^2 t = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2t $.
dan $ \sin 2t = 2 \sin t \cos t $.
juga $ \cos t = \sqrt{1 - \sin ^2 t } = \sqrt{ 1 -(\frac{x-1}{3} )^2 } = \sqrt{ 1 -\frac{1}{9}(x-1)^2 } $
Varibale x diubah dalam t $ x \, $ dan $ dx \, $ nya :
$ \begin{align} \int \sqrt{8 + 2x - x^2 } dx & = \int \sqrt{9 - (3\sin t)^2 } dx \\ & = \int 3 \cos t . 3 \cos t dt \\ & = 9 \int \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2t dt \\ & = 9 ( \frac{1}{2} t + \frac{1}{2} . \frac{1}{2} \sin 2t + c \\ & = \frac{9}{2} t + \frac{9}{4} \sin 2t + c \\ & = \frac{9}{2} t + \frac{9}{4} . 2\sin t \cos t + c \\ & = \frac{9}{2} t + \frac{9}{2} \sin t \cos t + c \\ & = \frac{9}{2} arc \sin \left( \frac{x-1}{3} \right) + \frac{9}{2} . \frac{x-1}{3} . \sqrt{ 1 -\frac{1}{9}(x-1)^2 } + c \\ & = \frac{9}{2} arc \sin \left( \frac{x-1}{3} \right) + \frac{3}{2} (x-1) \sqrt{ 1 -\frac{1}{9}(x-1)^2 } + c \end{align} $
Maka diperoleh hasil akhir: $ \int \sqrt{8 + 2x - x^2 } dx = \frac{9}{2} arc \sin \left( \frac{x-1}{3} \right) + \frac{3}{2} (x-1) \sqrt{ 1 -\frac{1}{9}(x-1)^2 } + c $ .
Q1) Hasil dari integral dari $ \int \frac{x^2}{\sqrt{4-9x^2}} dx $ ?
Penyelesaian:
Bentuknya adalah $ \sqrt{4-9x^2} = \sqrt{2^2-3^2x^2} , \, $ substitusi $ x = \frac{2}{3} \sin t $.
$ x = \frac{2}{3} \sin t \rightarrow \sin t = \frac{3x}{2} \rightarrow t = arc \sin \left( \frac{3x}{2} \right) $
$ x = \frac{2}{3} \sin t \rightarrow \frac{dx}{dt} = \frac{2}{3} \cos t \rightarrow dx = \frac{2}{3} \cos t dt $.
$ \begin{align} \sqrt{14-9x^2} & = \sqrt{4-9(\frac{2}{3}\sin t) ^2 } = \sqrt{4-9.\frac{4}{9}\sin^2 t } = \sqrt{4-4\sin^2 t } \\ & = \sqrt{4(1 - \sin ^2 t) } = \sqrt{4\cos ^ 2 t } = 2 \cos t \end{align} $.
Menggunakan rumus : $ \sin ^2 t = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2t $.
dan $ \sin 2t = 2 \sin t \cos t $.
juga $ \cos t = \sqrt{1 - \sin ^2 t } = \sqrt{ 1 -(\frac{3x}{2})^2 } = \sqrt{ 1 -\frac{9}{4}x^2 } $
Subtitusi/Ganti variabel x dengan permisalan $ x \, $ dan $ dx \, $ nya :
$ \begin{align} \int \frac{x^2}{\sqrt{4-9x^2}} dx & = \int \frac{(\frac{2}{3} \sin t)^2}{ 2 \cos t } . \frac{2}{3} \cos t dt \\ & = \int \frac{\frac{4}{9} \sin ^2 t }{ 2 \cos t } . \frac{2}{3} \cos t dt \\ & = \frac{4}{27} \int \sin ^2 t dt \\ & = \frac{4}{27} \int \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2t dt \\ & = \frac{4}{27} ( \frac{1}{2}t - \frac{1}{2} . \frac{1}{2} \sin 2t ) + c \\ & = \frac{4}{27}( \frac{1}{2}t - \frac{1}{4} \sin 2t ) + c \\ & = \frac{4}{27} ( \frac{1}{2}t - \frac{1}{4} . 2 \sin t \cos t ) + c \\ & = \frac{4}{27} (\frac{1}{2}t - \frac{1}{2} \sin t \cos t ) + c \, \, \, \, \, \text{(ubah dalam bentuk } x) \\ & = \frac{4}{27} ( \frac{1}{2} arc \sin \left( \frac{3x}{2} \right) - \frac{1}{2} \frac{3x}{2} \sqrt{ 1 -\frac{9}{4}x^2 } ) + c \\ & = \frac{2}{27} arc \sin \left( \frac{3x}{2} \right) - \frac{x}{9} \sqrt{ 1 - x^2 } + c \end{align} $
Jadi dari Soal akan diperoleh hasil: $ \int \frac{x^2}{\sqrt{4-9x^2}} dx = \frac{2}{27} arc \sin \left( \frac{3x}{2} \right) - \frac{x}{9} \sqrt{ 1 - x^2 } + c $
Q2) Tentukanlah hasil dari integral $ \int \sqrt{8 + 2x - x^2 } dx $ ?
Penyelesaian :
Fungsi diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna,
$ \begin{align} 8 + 2x - x^2 & = 9 - 1 + 2x - x^2 \\ & = 9 - (1 - 2x + x^2) \\ & = 9 - (x-1)^2 \end{align} $
Dari Bentuk $ 9 - (x-1)^2 , \, $ substitusikan $ x - 1 = 3 \sin t $.
$ x - 1 = 3 \sin t \rightarrow \sin t = \frac{x-1}{3} \rightarrow t = arc \sin \left( \frac{x-1}{3} \right) $
$ x - 1 = 3 \sin t \rightarrow x = 3\sin t + 1 \rightarrow \frac{dx}{dt} = 3\cos t \rightarrow dx = 3 \cos t dt $.
$ \begin{align} \sqrt{8 + 2x - x^2 }& = c = \sqrt{9 - (3\sin t)^2 } = \sqrt{9 - 9\sin^2 t } \\ & = \sqrt{9(1 - \sin ^2 t) } = \sqrt{9\cos ^ 2 t } = 3 \cos t \end{align} $.
Menggunakan Rumus : $ \cos ^2 t = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2t $.
dan $ \sin 2t = 2 \sin t \cos t $.
juga $ \cos t = \sqrt{1 - \sin ^2 t } = \sqrt{ 1 -(\frac{x-1}{3} )^2 } = \sqrt{ 1 -\frac{1}{9}(x-1)^2 } $
Varibale x diubah dalam t $ x \, $ dan $ dx \, $ nya :
$ \begin{align} \int \sqrt{8 + 2x - x^2 } dx & = \int \sqrt{9 - (3\sin t)^2 } dx \\ & = \int 3 \cos t . 3 \cos t dt \\ & = 9 \int \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2t dt \\ & = 9 ( \frac{1}{2} t + \frac{1}{2} . \frac{1}{2} \sin 2t + c \\ & = \frac{9}{2} t + \frac{9}{4} \sin 2t + c \\ & = \frac{9}{2} t + \frac{9}{4} . 2\sin t \cos t + c \\ & = \frac{9}{2} t + \frac{9}{2} \sin t \cos t + c \\ & = \frac{9}{2} arc \sin \left( \frac{x-1}{3} \right) + \frac{9}{2} . \frac{x-1}{3} . \sqrt{ 1 -\frac{1}{9}(x-1)^2 } + c \\ & = \frac{9}{2} arc \sin \left( \frac{x-1}{3} \right) + \frac{3}{2} (x-1) \sqrt{ 1 -\frac{1}{9}(x-1)^2 } + c \end{align} $
Maka diperoleh hasil akhir: $ \int \sqrt{8 + 2x - x^2 } dx = \frac{9}{2} arc \sin \left( \frac{x-1}{3} \right) + \frac{3}{2} (x-1) \sqrt{ 1 -\frac{1}{9}(x-1)^2 } + c $ .
Posting Komentar untuk "Contoh Soal dan Penyelesaian Integral Subtitusi Trigonometri"