Contoh Soal dan Pembahasan Operasi Biner dan Grup-2

Soal: Diberikan $\mathbb{Z}^+$ merupakan himpunan bilangan bulat positif dan didefinisikan $x * y = |x - y| $untuk setiap $x,y \in \mathbb{Z}^+$. Apakah operasi * pada himpunan tersebut bersifat tertutup, komutatif, atau asosiatif?

Jawab:
Dengan meninjau definisi harga mutlak
$ |x - y| = \begin{cases} x - y, & \mbox{jika}~x > y \\ 0, & \mbox{jika}~x = y \\ -x + y, & \mbox{jika}~x < y \end{cases}$
Perhatikan bahwa |x - y| = 0 jika dan hanya jika x = y, padahal 0 bukanlah anggota$ \mathbb{Z}^+$, sehingga operasi * tidak bersifat tertutup dalam $\mathbb{Z}^+$. Sebagai contoh, ambil x = y = 3, akibatnya |x - y| = |3 - 3| = 0 $\notin \mathbb{R}^+$

Jika operasi tersebut memenuhi sifat komutatif, maka haruslah berlaku
$ x * y = y * x dengan x, y \in \mathbb{Z}^+$.
Perhatikan bahwa
 $x * y = |x - y| = |(-1)(y - x)|$
 $= |-1|.|y-x| = 1.|y-x| = |y-x| = y * x$
Jadi, operasi * terbukti memenuhi sifat komutatif.

Jika operasi tersebut memenuhi sifat asosiatif, maka haruslah berlaku
 $x * (y * z)= (x * y) * z $dengan x, y, z $\in \mathbb{Z}^+$.
Perhatikan bahwa
 x * (y * z)= x * |y - z| = |x - |y - z||
 (x * y) * z = |x - y| * z = ||x - y| - z|
Diperoleh bahwa x * (y * z) \neq (x * y) * z
Jadi, operasi * tidak terbukti memenuhi sifat asosiatif.