Contoh Soal dan Pembahasan Operasi Biner dan Grup-4

Soal:
Diketahui G = {bilangan rasional positif} dan a * b = $\dfrac{ab}{2}, \forall a,b\in G$. Tunjukkan bahwa (G, *) merupakan grup

Bukti:
Agar (G, *) dikatakan sebagai grup dalam operasi bintang, maka harus ditunjukkan bahwa (G, *) memenuhi 4 aksioma grup (termasuk sifat tertutup).

Akan ditunjukkan bahwa operasi bintang bersifat tertutup pada G.
Ambil sembarang a,b \in G sehingga menurut definisi operasi bintang, diperoleh
$ a*b = \dfrac{ab}{2}$
Karena ab dan 2 masing-masing merupakan bilangan bulat positif, sehingga $ \dfrac{ab}{2}$ merupakan bilangan rasional positif, maka $\dfrac{ab}{2} $juga anggota G. Berarti, operasi bintang bersifat tertutup pada G.
Akan ditunjukkan bahwa operasi bintang pada G bersifat asosiatif.
Ambil sembarang a,b,c \in G. Perhatikan bahwa,
$ (a * b) * c = \dfrac{ab}{2} * c$
$= \dfrac{abc}{4} = a * \dfrac{bc}{2} = a * (b * c)$
Karena (a * b) * c =  a * (b * c), maka dapat dikatakan bahwa operasi bintang pada G bersifat asosiatif.
Akan ditunjukkan bahwa operasi bintang pada G memiliki identitas.
Ambil sembarang a \in G dengan e sebagai identitas (yang akan dicari). Perhatikan bahwa,
 $a * e  = \dfrac{ae}{2} = a \Rightarrow e = \dfrac{2a}{a} = 2$
$ e * a = \dfrac{ea}{2} = a \Rightarrow e = \dfrac{2a}{a} = 2$
Jadi, unsur identitas/kesatuannya adalah 2.
Akan ditunjukkan bahwa operasi bintang pada G memiliki invers.
Ambil sembarang a, b \in G, sehingga menurut aksioma invers pada grup, invers dari a yaitu b harus memenuhi
$ a * b = 2 \Leftarrow \dfrac{ab}{2} = 2 \Leftarrow b = \dfrac{4}{a}$
Jadi, invers sembarang $a \in G$ adalah $\dfrac{4}{a}$.
Karena memenuhi 4 aksioma grup tersebut, maka (G, *) merupakan grup. (Terbukti)