Contoh Soal Pembuktian Grup Abelian dalam Aljabar -1

Soal 1: Misalkan $ \mathbb{Z} $bilangan bulat dan didefinisikan operasi biner x * y = x + y - 1, $ \forall x,y \in \mathbb{Z}$. Tunjukkan bahwa ($\mathbb{Z}$, *) merupakan grup abelian!

Pembuktian:
Untuk membuktikan bahwa ($\mathbb{Z}$, *) grup abelian, maka harus ditunjukkan bahwa ($\mathbb{Z}$, *) memenuhi 4 aksioma (sifat).
i) Sifat asosiatif
Akan ditunjukkan bahwa $x * (y * z) = (x * y) * z, \forall x,y,z \in \mathbb{Z}$
 x * y * z = x * (y + z - 1) = x + (y + z - 1) - 1
 = (x + y - 1) + z - 1 = (x * y) + z - 1
 = (x * y) * z
Jadi, operasi * berlaku sifat asosiatif.

ii) Memiliki identitas
Akan ditunjukkan bahwa ada $e \in \mathbb{Z} $sedemikian sehingga berlaku $x * e = e * x = x, x \in \mathbb{Z}$
Perhatikan bahwa:
$ x * e = x \Leftrightarrow x + e - 1 = x$
$ \Leftrightarrow e - 1 = 0 \Leftrightarrow e = 1$
dan
$ e * x = x \Leftrightarrow e + x - 1 = x$
$ \Leftrightarrow e - 1 = 0 \Leftrightarrow e = 1$
Jadi, ($\mathbb{Z}$, *) memiliki identitas, yaitu 1.

iii) Setiap elemen ($ \mathbb{Z}$, *) memiliki invers.
Akan ditunjukkan bahwa$ x * x^{-1} = x^{-1} * x = e = 1, x \in \mathbb{Z}$
Perhatikan bahwa,
 $x * x^{-1} = 1\Leftrightarrow x + x^{-1} - 1 = 1 \Leftrightarrow x^{-1} = 2 - x$
$ x * x^{-1} = 1\Leftrightarrow x^{-1} + x - 1 = 1 \Leftrightarrow x^{-1} = 2 - x$
Jadi, setiap$ x \in \mathbb{Z}$ memiliki invers yaitu x$^{-1}$ = 2 - x.

iv) Bersifat komutatif
Akan ditunjukkan bahwa berlaku x * y = y * x, $\forall x,y \in \mathbb{Z}$
 x * y = x + y - 1 = y + x - 1 = y * x
Jadi, operasi * bersifat komutatif.
Karena memenuhi 4 aksioma ini, maka
 ($\mathbb{Z}$, *) terbukti merupakan grup abelian.