Soal Aljabar Operasi Biner dan Pembahasan
Misalkan $\dfrac{a}{b}, \dfrac{c}{d} \in \mathbb{Q} - \{0\} $sembarang. Didefinisikan operasi * dengan
$\dfrac{a}{b} * \dfrac{c}{d} = \dfrac{a + c}{b^2 + d}$
Tunjukkan bahwa * bukan operasi biner.
Bukti:
Untuk menunjukkan bahwa * bukan operasi biner, berarti kita harus membuktikan (memberi penyangkal) bahwa operasi tersebut tidak bersifat tertutup. Dengan kata lain, kita harus menemukan dua buah bilangan rasional tanpa 0 yang bila dioperasikan tidak menghasilkan bilangan rasional tanpa 0.
Ambil a = -c atau d = -b$^2$, dengan a, b, c, d $\in \mathbb{Z} - \{0\}$ (mengikuti definisi bilangan rasional, tanpa 0), maka hasil operasi * menghasilkan bilangan yang bukan anggota himpunan $ \mathbb{Q} - \{0\}$.
Untuk a = -c, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{a}{b} * \dfrac{c}{d} & = \dfrac{a + c}{b^2 + d} \\ & = \dfrac{-c + c}{b^2 + d} \\ & = \dfrac{0}{b^2 + d} = 0 \notin \mathbb{Q} - \{0\} \end{aligned}$
Untuk d = -b$^2$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{a}{b} * \dfrac{c}{d} & = \dfrac{a + c}{b^2 + d} \\ & = \dfrac{a + c}{b^2 - b^2} = \dfrac{a + c}{0} = \emptyset \notin \mathbb{Q} - \{0\} \end{aligned}$
Operasi tersebut tidak bersifat tertutup dan oleh sebab itu bisa dikatakan bukan termasuk operasi biner. (Terbukti)
$\dfrac{a}{b} * \dfrac{c}{d} = \dfrac{a + c}{b^2 + d}$
Tunjukkan bahwa * bukan operasi biner.
Bukti:
Untuk menunjukkan bahwa * bukan operasi biner, berarti kita harus membuktikan (memberi penyangkal) bahwa operasi tersebut tidak bersifat tertutup. Dengan kata lain, kita harus menemukan dua buah bilangan rasional tanpa 0 yang bila dioperasikan tidak menghasilkan bilangan rasional tanpa 0.
Ambil a = -c atau d = -b$^2$, dengan a, b, c, d $\in \mathbb{Z} - \{0\}$ (mengikuti definisi bilangan rasional, tanpa 0), maka hasil operasi * menghasilkan bilangan yang bukan anggota himpunan $ \mathbb{Q} - \{0\}$.
Untuk a = -c, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{a}{b} * \dfrac{c}{d} & = \dfrac{a + c}{b^2 + d} \\ & = \dfrac{-c + c}{b^2 + d} \\ & = \dfrac{0}{b^2 + d} = 0 \notin \mathbb{Q} - \{0\} \end{aligned}$
Untuk d = -b$^2$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{a}{b} * \dfrac{c}{d} & = \dfrac{a + c}{b^2 + d} \\ & = \dfrac{a + c}{b^2 - b^2} = \dfrac{a + c}{0} = \emptyset \notin \mathbb{Q} - \{0\} \end{aligned}$
Operasi tersebut tidak bersifat tertutup dan oleh sebab itu bisa dikatakan bukan termasuk operasi biner. (Terbukti)
Posting Komentar untuk "Soal Aljabar Operasi Biner dan Pembahasan"