Soal Integral e dan Trigonometri

Soal:  Hitunglah $\int e^x \sin x~dx$

Pembahasan:
$ \int e^x \sin x~dx$
Bentuk integral di atas tak akan bisa diselesaikan dengan metode substitusi. Coba dengan metode integrasi parsial.
Misalkan, $u = e^x \Rightarrow du = e^x~dx$
dan $dv = \sin x~dx \Rightarrow v = -\cos x$

Dengan rumus integrasi parsial,
$\int u~dv = uv - \int v~du$

$ \int e^x \sin x~dx = -e^x \cos x + \int \cos x~e^x~dx \bigstar$

Perhatikan:
$\int \cos x~e^x~dx$ .
Misalkan,
$u = e^x \Rightarrow du = e^x~dx$
dan $dv = \cos x~dx \Rightarrow v = \sin x$
Jadi, diperoleh
 $\int \cos x~e^x~dx = e^x \sin x - \int e^x~\sin x~ dx$
Substitusikan ke $\bigstar$, diperoleh,
 $\int e^x \sin x~dx = -e^x \cos x + (e^x \sin x - \int e^x \sin x~ dx)$
 $2\int e^x \sin x~dx = e^x(\sin x - \cos x)$
$ \int e^x \sin x~dx = \dfrac{e^x(\sin x - \cos x)}{2}$

Jadi, nilai dari $\int e^x \sin x~dx= \dfrac{e^x(\sin x - \cos x)}{2}$