Soal Soal Pembuktian Grup Abelian (Aljabar)

Soal 1. Misalkan G grup sedemikian sehingga $(ab)^2 = a^2b^2, untuk \forall a,b \in G$. Tunjukkan bahwa G merupakan grup komutatif (abelian).

Pembahasan:
Ambil sembarang $a, b \in G$. Akan ditunjukkan bahwa ab = ba. Perhatikan bahwa
$ (ab)^2 = a^2b^2 = (aa)(bb)$
Di lain sisi, juga diketahui bahwa
$ (ab)^2 = (ab)(ab)$
Ini berarti,
 $(aa)(bb) = (ab)(ab)$
Gunakan sifat asosiatif,
$ a(ab)b = a(ba)b$
Karena G grup, maka berlaku hukum kanselasi, diperoleh
 ab = ba
Jadi, terbukti bahwa G merupakan grup komutatif (abelian)

Soal 2. Tunjukkan bahwa jika setiap unsur dalam grup G merupakan invers dari dirinya sendiri, maka G grup abelian!

Pembahasan:
Ambil sembarang $a, b \in G$. Diberikan bahwa $a = a^{-1} dan b = b^{-1}$. Juga karena G grup, maka operasi * pada G bersifat tertutup. Artinya, $a*b \in G$. Akan ditunjukkan bahwa $a * b = b *a$.
Perhatikan bahwa
 $a * b = (a * b)^{-1}$
Dengan menggunakan teorema grup, berlaku
$ (a * b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1} = b * a$
Terbukti, a * b = b * a. Jadi, G merupakan grup abelian.