Contoh Soal Menghitung Luas Daerah dengan Integral tanpa Gambar Grafik

Soal Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 - 6x + 8 , \, $ sumbu X, garis $ x = 0 \, $ dan garis $ x = 3 $.
Untuk Langkahnya silakan baca: Cara Menghitung Luas Daerah dengan Integral tanpa Menggambar
Penyelesaian :
Titik potong terhadap sumbu X adalah $ x = 2 \, $ dan $ x = 4 $.
Batas yang diminta adalah garis $ x = 0 \, $ dan garis $ x = 3 $, artinya dari titik potong tersebut ada pembatas $ x = 2 \, $ yang membagi daerah untuk $ x = 0 \, $ sampai $ x = 3 $, ini menandakan ada dua daerah yang akan dihitung luasnya yaitu daerah 0 sampai 2 dan daerah 2 sampai 3.

Letak daerah arsiran
Daerah pertama 0 sampai 2, substitusi $ x = 1 $
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow y & = x^2 -6x + 8 \\ y & = 1^2 -6.1 + 8 \\ & = 1 -1 + 8 \\ & = 8 \end{align} $
Hasil fungsinya positif , artinya daerah arsiran ada di atas sumbu X untuk daerah 0 sampai 2.
Daerah kedua 2 sampai 3, substitusi $ x = 2,5 $
$ \begin{align} x = 2,5 \rightarrow y & = x^2 -6x + 8 \\ y & = (2,5)^2 -6.(2,5) + 8 \\ & = 6,25 -15 + 8    \\ & = -0,75 \end{align} $

Karena hasil fungsinya negatif , artinya daerah arsiran ada di bawah sumbu X untuk daerah 2 sampai 3, agar luasnya positif maka harus kita kalikan negatif.

Menghitung luas
$ \begin{align} \text{Luas } & = L_1 + L_2 \\ & = \int \limits_0^2 x^2 -6x + 8 dx + (- \int \limits_2^3 x^2 -6x + 8 dx ) \\ & = \int \limits_0^2 x^2 -6x + 8 dx - \int \limits_2^3 x^2 -6x + 8 dx \end{align} $
Jadi, luas daerah yang dimaksud bisa dihitung dari bentuk integral di atas.